Brauch wieder mathe hilfe :(

[Hagen0]

Das is schon klar. So meine ich das nicht. Lies mal, was ich oben noch editiert habe. Die Frage ist: Wenn t_k,...,t_j+1 festliegen und bekannt sind, wie bestimme ich dann t_j? Die Ungleichung gibt mir eine ganze Reihe von Möglichkeiten. Und wenn ich das richtig verstanden habe wird t_j zufällig gleichverteilt aus diesen gewählt.

[alpha civ]

Man hat immer zwei Möglichkeiten. Wenn ich das Beispiel oben nehme für [math]t_{k-1}[/math] , dann erhält man durch Umstellen der Ungleichung
[math]-1 - t_k/2 \leq t_{k-1} \leq 1 - t_k/2[/math] .
Weil man nur an den ganzzahligen Lösungen interessiert ist, muss man Runden:
[math]\lceiling -1 -t_k/2 \rceiling \leq t_{k-1} \leq \lfloor 1 - t_k/2 \rfloor[/math]

Das ergibt zwei Möglichkeiten. Man kann entweder die untere oder die obere Schranke nehmen. Und beide Möglichkeiten sollen gleich wahrscheinlich sein.

[Hagen0]

Ok, ich sehe gerade, ich war selber etwas verwirrt.

Es gibt aber auch die Möglichkeit, dass [math] \sum_{i=j+1}^k t_i\mu_{i,j}[/math] ganzzahlig ist. Dann gibt es drei Möglichkeiten für [math]t_j[/math] , nämlich [math]-\sum_{i=j+1}^k t_i\mu_{i,j}-1[/math] , [math]-\sum_{i=j+1}^k t_i\mu_{i,j}[/math] und [math]-\sum_{i=j+1}^k t_i\mu_{i,j}+1[/math]

[alpha civ]

Stimmt, nur ist das unwahrscheinlich. Die [math]\mu_{i,j}[/math] sind alle irgendwelche reellen Zahlen zwischen -0.5 und 0.5.
Aber es reichen auch nur die anderen beiden Möglichkeiten. Den Algorithmus, den ich dann verwende, berücksichtigt auch nur diese beiden.

[Hagen0]

Alles klar.

Wie du schon bemerkt hast, ist der Wertebereich der t_j (diesmal der gesamte Wertebereich für alle Möglichkeiten für t_j+1,...,t_k) symmetrisch zum Nullpunkt der reellen Achse. Diese Symmetrie ist der Schlüssel zur Lösung der Aufgabe(?). Entscheidend ist, dass die Symmetrie nicht nur für den Wertebereich sonder auch für die Verteilung der t_j gilt.

[alpha civ]

Aufgabe ist das so direkt keine. Es hängt mit meinem Algorithmus zusammen, den ich im Programmierfaden mal beschreiben habe. Und zwar dienen mir die t_j für die Generierung von Gittervektoren. Und ich will irgendwie die erwartete Größe jeder einzelnen orthogonale Größe berechnen.

[Hagen0]

Wenn ich nicht wieder auf dem Schlauch stehe, kann man rekursiv beweisen, dass die Verteilung der t_j symmetrisch zum Nullpunkt ist. Die Zufallsgröße [math]t_j + \sum_{i=j+1}^k t_i\mu_{i,j}[/math] ist eine Linearkombination der t_j und hat folglich den Erwartungswert 0 für alle j.

[alpha civ]

Also führt mich das auch nicht unbedingt weiter. Ich muss dann wohl meine Problemstellung anpassen.

Danke dir aber für deine Hilfe.

[Hagen0]

Dachte mir schon, dass das bei einem realen Problem nicht sehr hilfreich ist. Deshalb nahm ich auch erst an, dass es eine Aufagbe ist.

[alpha civ]

Und wieder was zu Stochastik.

Und zwar habe ich folgendes Problem: Ich habe zwei Zahlen x,y mit [math]-1/2 \leq x,y \leq 1/2[/math] . Normalerweise wäre dann [math]-1 \leq x - y \leq 1[/math] . Ich weis aber, das es sogar nur [math]-1/2 \leq x - y \leq 1/2[/math] gelten kann (das kann ich durch einen Algorithmus bewerkstelligen).

Nun will ich den Erwartungswert von X - Y berechnen, wobei X, Y wieder zwei stochastik unabhängige, stetige Zufallszahlen sind.
Ich weis, wie ich den Erwartungswert berechnen würde, wenn [math]-1 \leq x - y \leq 1[/math] gelten würde. Aber wie gehe ich mit dem Wissen um, das schon [math]-1/2 \leq x - y \leq 1/2[/math] gilt?

[Peregrin_Tooc]

Sollte man nicht die Argumentation für den Erwartungswert einfach anpassen können an |x-y| <= 1/2?

[alpha civ]

Das ist eben die Frage, ob das geht.

[Hagen0]

Die Bedingung [math]-1/2 \leq x - y \leq 1/2[/math] widerspricht der Unabhängigkeit von [math]x[/math] und [math]y[/math] . Das kann nicht beides stimmen. Auf welche Weise stellt dein Algorithmus denn sicher, dass [math]-1/2 \leq x - y \leq 1/2[/math] gilt?

[alpha civ]

Stimmt, das mit der Unabhängigkeit ist dann schwachsinn. Dann müsste ich vielleicht die gemeinsame Dichte von x und y anpassen.

Der Algorithmus hat mit dem Erstellen einer Zufallsfolge von Vektoren aus [math][-1/2, 1/2]^k[/math] zu tun, die periodisch wird. Die Folge wird durch eine Funktion f erzeugt. Es gibt dann zwei Vektoren x und y mit [math]x != y, f(x) = f(y)[/math] .
Durch geschickte Wahl von f kann man [math]|x_i - y_i| \leq 1/2[/math] erzielen.

(Das ist nur eine kurze Beschreiben. Die eigentliche Anwendung des Algorithmus ist Gitterreduktion.)

[Gigaz]

Ohne jetzt sonderlich viel Ahnung von Statistik zu haben würde ich das Problem durch eine Grafik lösen.

Zeichne in einem Diagramm die Fläche, in der x und y liegen dürfen.
Zeichne die Geraden x-y=constant.
Integriere über alle diese Geraden, gewichtet mit der Länge der Gerade.